Question

平行四邊形ABCD中，AB=5，AD=8，∠C、∠D的平分線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，且AF⊥BC．
（1）求tan∠ADF；
（2）求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，∠C、∠D的平分線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，易得△FCD與△DCE是等腰三角形，則可求得DE與FC的長(zhǎng)，然后由勾股定理即可求得AF的長(zhǎng)，繼而可求得tan∠ADF的值；
（2）首先連接EF，易證得平行四邊形EFCD是菱形，然后由菱形的面積的求解方法，即可求得CE的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=5，AD=BC=8，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∵∠C、∠D的平分線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，
∴∠ADF=∠FDC，
∴∠DFC=∠FDC，
∴FC=DC=5，
同理可證：DE=DC=5，
∴BF=AE=3，
∵AF⊥BC．AD∥BC，
∴∠AFB=∠DAF=90°，
在Rt△ABF中，AF²+BF²=AB²，AF=4，
在Rt△AFD中，tan∠ADF=；

（2）連接EF，
在Rt△AFD中，AF=4，AD=8，AF²+AD²=FD²，
∴DF=4，
∵FC=DE=5，
又∵AD∥BC，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
又∵FC=DC，
∴平行四邊形EFCD是菱形，
∵S_菱形EFCD=CE•FD=AF•CF，
即וCE=5×4，
∴CE=2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的定義等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．