Question

（2011•東臺市二模）已知二次函數y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）
（1）求證：它的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）這條拋物線與x軸交于兩點A、B（A在B左），與y軸交于點C，頂點為D，sin∠ABD=

2

5

5

，⊙M過A、B、C三點，求⊙M的面積；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使PA是⊙M的切線？若存在，求出P點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用根的判別式直接證明就可以了．
（2）當y=0時，可以表示出點A、B的坐標，表示出AB的長度，再根據sin∠ABD=

2

5

5

，DH=2BH，從而得到AB=DH，再根據拋物線的解析式求出m的值，設出M（1，a）利用圓的性質可以求出半徑，最后求出面積．
（3）由圓的切線的性質得出△NAH∽△AMH，可以求出NH的值，進而求出N的坐標，可以求出AN的解析式，可以求出與拋物線的交點坐標P．

解答：解：（1）由題意，得
△=（m-3）²+12m
∵（m-3）²≥0，m＞0，
∴（m-3）²+12m＞0，
∴拋物線x軸必有兩個交點；

（2）當y=0時，
∴mx²+（m-3）x-3=0，解得
x₁=-1，x₂=

3

m

，
∵A在B左，
∴A（-1，0），B（

3

m

，0），
∴AB=

m+3

m

．
過點D作DH⊥AB于點H，由拋物線的對稱性得到AH=BH=

1

2

AB，
由垂徑定理的性質得，點M在DH上．
∵sin∠ABD=

2

5

5

，設DH=2

5

m，BD=5m，由勾股定理，得
BH=

5

m，
∴BH=

1

2

DH，
∴AB=DH，
∵OA=1，
∴OH=

m+3

2m

-1=

3-m

2m

，
∴D（

3-m

2m

，m• (

3-m

2m

)2+(m-3) •

3-m

2m

-3）
∴DH=-（m•(

3-m

2m

)2+(m-3) •

3-m

2m

-3），
=-

(3-m)2

4M

-

(3-m)2

2m

+3，
∴-

(3-m)2

4M

-

(3-m)2

2m

+3=

m+3

m

，解得：
m₁=1，m₂=-3（m＞0）
∴m=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3，HO=1，AH=2，設M（1，a），
∴MH=-a，MA=MC，CE=a-3，
∴（-a）²+4=1+（a+3）²
解得：a=-1
∴AM=

5

，HM=1，
∴S_⊙M=5π．

（3）∵AP是⊙M的切線，
∴PA⊥MA，
∴△NAH∽△AMH，
∴

AH

NH

=

MH

AH

=

1

2

，
∴NH=4，
∴N（1，4），設直線AH的解析式為：y=kx+b，由題意，得

0=-k+b 4=k+b

，解得：

k=2 b=2

∴直線AH的解析式為：y=2x+2，
∴

y=2x+2 y=x2-2x-3

，解得：

x1=5 y1=12

，

x2=-1 y2=0

（不符合題意，應舍去）
∴P（5，12）

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了拋物線的于x軸的交點，拋物線的圖象性質，圓的切線的判定及性質，勾股定理的運用．