Question

【題目】如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于E．設BP=x，CE=y．

（1）求y與x的函數關系式；
（2）若點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，求m的取值范圍；
（3）如圖2，若m=4，將△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，

∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°，

∴△ABP∽△PCE，

∴ ，即 ，

∴y= x2+ x．

（2）

解：∵y= x2+ x= （x﹣ ）2+ ，

∴當x= 時，y取得最大值，最大值為 ．

∵點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，

∴ ≤1，解得m≤ ．

∴m的取值范圍為：0＜m≤ ．

（3）

解：由折疊可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，

又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，

∴∠APG=∠APB．

∵∠BAG=90°，∴AG∥BC，

∴∠GAP=∠APB，

∴∠GAP=∠APG，

∴AG=PG=PC．

【解析】（1）證明△ABP∽△PCE，利用比例線段關系求出y與x的函數關系式；（2）根據（1）中求出的y與x的關系式，利用二次函數性質，求出其最大值，列不等式確定m的取值范圍；（3）根據翻折的性質及已知條件，構造直角三角形，利用勾股定理求出BP的長度．解答中提供了三種解法，可認真體會．