Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，⊙D與y軸相切于點C（0，4），與x軸相交于A、B兩點，且AB=6．

（1）求圓的半徑和點D的坐標；
（2）點A的坐標是 ， 點B的坐標是 ， sin∠ACB；
（3）求經過C、A、B三點的拋物線解析式；
（4）設拋物線的頂點為F，證明直線FA與⊙D相切．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點D作DE⊥AB于E，連接DC、AD，如圖1，

則AE=EB= AB=3，DC⊥y軸，

∴∠DCO=∠COE=∠DEO=90°，

∴四邊形OCDE是矩形，

∴OE=CD，DE=OC=4．

在Rt△ADE中，AD= = =5，

∴OE=CD=AD=5，

∴圓的半徑為5，點D的坐標為（5，4）；

（2）（2，0）；（8，0）；
（3）解：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵A（2，0），B（8，0），C（0，4）在拋物線y=ax2+bx+c上，

∴ ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x+4；

（4）解：連接DA，DF，如圖3，

∵D、F都在線段AB的垂直平分線上，

∴DF垂直平分AB．

由y= x2﹣ x+4= （x﹣5）2﹣ 可得F（5，﹣ ），

∵DF=4+ = ，AF= = ，

∴DA2+AF2=52+（ ）2= =（ ）2=DF2，

∴∠DAF=90°，

∴FA與⊙D相切．

【解析】解：（2）過點D作DE⊥AB于E，連接DB、AD，如圖2，

∵OE=5，AE=EB=3，
∴OA=5﹣3=2，OB=5+3=8．
∵DA=DB，
∴∠ADE=∠BDE= ∠ADB=∠ACB，
∴sin∠ACB=sin∠ADE= = ．
故答案分別為：（2，0），（8，0）， ；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．