Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點B的坐標為（3，0），直線y=-x+3恰好經過B，C兩點
（1）寫出點C的坐標；
（2）求出拋物線y=x²+bx+c的解析式，并寫出拋物線的對稱軸和點A的坐標；
（3）點P在拋物線的對稱軸上，拋物線頂點為D且∠APD=∠ACB，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線y=-x+3可求出C點坐標；
（2）由B，C兩點坐標便可求出拋物線方程，從而求出拋物線的對稱軸和A點坐標；
（3）作出輔助線OE，由三角形的兩個角相等，證明△AEC∽△AFP，根據兩邊成比例，便可求出PF的長度，從而求出P點坐標．
解答：解：（1）y=-x+3與y軸交于點C，故C（0，3）．

（2）∵拋物線y=x²+bx+c過點B，C，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3=（x-1）×（x-3），
∴對稱軸為x=2，
點A（1，0）．

（3）由y=x²-4x+3，
可得D（2，-1），A（1，0），
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，．如圖，設拋物線對稱軸與x軸交于點F，

∴AF=AB=1．
過點A作AE⊥BC于點E．
∴∠AEB=90度．
可得，．
在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴，
解得PF=2．
或者直接證明△ABC∽△ADP得出PD=3，
再得PF=2．
∵點P在拋物線的對稱軸上，
∴點P的坐標為（2，2）或（2，-2）．
點評：本題前兩問考查了二次函數的基本性質，較為簡單．第三問結合二次函數的圖象考查了三角形的性質，綜合性較強．