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如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC為矩形,OA=3,OC=4,P為直線AB上一動點,將直線OP繞點P逆時針方向旋轉90°交直線BC于點Q;
(1)當點P在線段AB上運動(不與A,B重合)時,求證:OA•BQ=AP•BP;
(2)在(1)成立的條件下,設點P的橫坐標為m,線段L的長度為l,求出l關于m的函數解析式,并判斷l是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)根據已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ,再根據相似三角形的對應邊成比例即可得到OA•BQ=AP•BP;
(2)由第一問可求得BQ的值,從而求得l=3-,所以可得到當m=2時,l有最小值求出即可.
解答:(1)證明:∵PO⊥PQ,
∴∠APO+∠BPQ=90°,
在Rt△AOP中,∠APO+∠AOP=90°,
∴∠BPQ=∠AOP,
又∵∠OAB=∠PBQ=90°,
∴△OAP∽△PBQ,
=
即OA•BQ=AP•BP.

(2)解:∵OA•BQ=AP•BP,
即BQ=
∴l=3-
=(m2-4m+4)+
=(m-2)2+
∴當m=2時,l有最小值
點評:此題考查了等腰三角形的性質、相似三角形的判定、矩形的性質及二次函數等知識點的綜合運用,根據已知得出△OAP∽△PBQ是解題關鍵.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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(2012•渝北區一模)如圖,在平面直角坐標xoy中,以坐標原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(包括邊界)的所有整數點(橫、縱坐標均為整數)中任意選取一個點,其橫、縱坐標之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點坐標為(4,0),D點坐標為(0,3),則AC長為
5
5

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如圖,在平面直角坐標xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數y=
k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數y=
k
x
的解析式為(  )

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如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發,在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結果).

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