Question

如圖所示，點A是半圓上的一個三等分點，B是劣弧的中點，點P是直徑MN上的一個動點，⊙O的半徑為1，則AP+PB的最小值    ．

Answer 1

【答案】分析：本題是要在MN上找一點P，使PA+PB的值最小，設A′是A關于MN的對稱點，連接A′B，與MN的交點即為點P．此時PA+PB=A′B是最小值，可證△OA′B是等腰直角三角形，從而得出結果．
解答：解：作點A關于MN的對稱點A′，連接A′B，交MN于點P，連接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵點A與A′關于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵點B是弧AN的中點，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=1，
∴A′B=．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．
故答案為：．
點評：本題結合圖形的性質，考查軸對稱--最短路線問題．其中求出∠BOA′的度數是解題的關鍵．