Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙M過點O且與y軸、x軸分別交于A、B兩點，拋物線y=x²+bx+c經過A、B兩點，點C與點M關于x軸對稱，已知點M的坐標為（2，-2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷直線OC與⊙M的位置關系，并證明；
（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線OC上的動點，判斷是否存在以點P、Q、A、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出相應的Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AM、BM，過點M作MD⊥x軸，ME⊥y軸，由等腰三角形的性質可得出AB兩點的坐標，利用待定系數法即可得出拋物線的解析式；
（2）根據點C與點M關于x軸對稱，點M的坐標為（2，-2）求出點C的坐標，連接MC，OM，利用兩點間的距離公式得出OM²，OC²，MC²，的值，利用勾股定理的逆定理判斷出△OMC是等腰直角三角形，故可得出OM⊥OC，進而得出結論；
（3）先根據C點坐標求出直線OC的解析式，由AB兩點的坐標求出直線AB的解析，由兩直線的解析式得出直線AB與直線OC平行，B點即為所求點P，再分OA為平行四邊形的邊和對角線兩種情況求出Q點的坐標即可．
解答：（1）解：如圖1所示：
連接AM、BM，過點M作MD⊥x軸，ME⊥y軸，
∵M（2，-2），
∴D（2，0），E（0，-2），
∴A（0，-4），B（4，0），
∴，解得，
∴拋物線的解析式為：y=x²-3x-4；

（2）相切．
證明：如圖2，∵點C與點M關于x軸對稱，點M的坐標為（2，-2），
∴C（2，2），
∵點C是直線OC上的點，
連接MC，OM，
∵M（2，-2），C（2，2），
∴OM²=2²+（-2）²=8，
OC²=2²+（-2）²=8，
MC²=（2-2）²+（-2-2）²=16，
∵MC²=OM²+OC²，
∴△OMC是等腰直角三角形，
∴OM⊥OC，
∴直線OC與⊙M相切；

（3）存在．
設直線OC的解析式為：y=kx（k≠0），
∵點C是直線OC上的點，
∴2=2k，解得k=1，
∴直線OC的解析式為：y=x，
∵A（0，-4），B（4，0），
連接AB，
設直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），
∵A（0，-4），B（4，0），
∴，解得，
∴直線AB的解析式為y=x-4，
∴直線AB與直線OC平行，B點即為所求點P，
當OA為平行四邊形的邊時，如圖3所示：
過點B作BQ1⊥x軸于點Q₁，
∵BQ₁⊥x軸，
∴點的橫坐標為4，縱坐標y=4，
∴Q₁（4，4）；
當OA為平行四邊形的對角線時，如圖4所示：
過點A作AQ₂∥x軸交直線OC于點Q，
則點Q₂的縱坐標為-4，橫坐標x=-4，
∴Q₂（-4，-4）．
綜上所述：Q點的坐標為Q₁（4，4），Q₂（-4，-4）．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求二次函數及一次函數的解析式、平行四邊形的判定定理等知識，綜合性較強．