Question

如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長(zhǎng)線交邊BC于點(diǎn)D，交△ABC外接圓于點(diǎn)E．
（1）求證：IE=BE；
（2）若IE=4，AE=8，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接IB，只需證明∠IBE=∠BIE．根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心是三角形的角平分線的交點(diǎn)以及圓周角定理的推論即可證明；
（2）IE的長(zhǎng)，即是BE的長(zhǎng)，則可以把要求的線段和已知的線段構(gòu)造到兩個(gè)相似三角形中，進(jìn)行求解．

解答：（1）證明：連接IB．
∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD．
又∵∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE，
∴BE=IE．

（2）解：在△BED和△AEB中，
∠EBD=∠CAD=∠BAD，∠BED=∠AEB．
∴△BED∽△AEB，
∴

BE

AE

=

DE

BE

，
∵IE=4，AE=8，
∴BE=4，
即DE=

BE2

AE

=2．

點(diǎn)評(píng)：此題要理解三角形的內(nèi)心即是三角形角平分線的交點(diǎn)，能夠熟練運(yùn)用三角形的外角的性質(zhì)、圓周角定理的推論以及相似三角形的判定和性質(zhì)．