Question

（2013•白下區一模）點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，∠DBA=∠C．
（1）請判斷BD所在的直線與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AD=AO=1，求圖中陰影部分的面積（結果保留根號）．

Answer 1

分析：（1）BD所在的直線與圓O相切，理由為：連接OB，由CA為圓O的直徑，利用直角所對的圓周角為直角，得到∠ABC=90°，再由OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由∠DBA=∠C，得到∠DBA+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC=90°，即BD垂直于半徑OB，可得出BD所在的直線為圓O的切線；
（2）由BD為圓O的切線，得到三角形BDO為直角三角形，根據OB及OD的長，利用勾股定理求出BD的長，進而由直角邊BD與BO乘積的一半求出直角三角形BDO的面積，再由BO為DO的一半求出∠D=30°，進而得出∠AOB=60°，利用扇形的面積公式求出扇形AOB的面積，由直角三角形BDO的面積-扇形AOB的面積，即可求出陰影部分的面積．

解答：（1）BD所在的直線與⊙O相切，理由如下：
證明：連接OB，
∵CA是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∵∠DBA=∠C，
∴∠DBA+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC=90°，
∴OB⊥BD，
∵點B在⊙O上，
∴BD所在的直線與⊙O相切；
（2）解：∵∠DBO=90°，AD=OA=OB，
∴DO=2BO，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∵S_扇=

60π×1

360

=

π

6

，S_△OBD=

1

2

OB•BD=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∴S_陰=S_△OBD-S_扇=

3

2

-

π

6

．

點評：此題考查了切線的判定，等腰三角形的判定與性質，扇形的面積求法，含30°直角三角形的性質與判定，利用了轉化及等量代換的思想，其中切線的判定方法有兩種：有點連接證明垂直；無點作垂線證明垂線段等于半徑．