Question

（人教版）已知：OA、OB是⊙O的半徑，且OA⊥OB，P是射線OA上一點（點A除外），直線BP交⊙O于點Q，過Q作⊙O的切線交直線OA于點E．
（1）如圖①，若點P在線段OA上，求證：∠OBP+∠AQE=45°；
（2）若點P在線段OA的延長線上，其它條件不變，∠OBP與∠AQE之間是否存在某種確定的等量關系？請你完成圖②，并寫出結論（不需要證明）．

Answer 1

分析：（1）連接OQ，則OQ⊥QE，根據等腰直角三角形兩底角相等可得∠OBP=∠OQB，再根據∠BQA=45°，即可推出∠AQE+∠OBP=90°-∠OQA=45°；
（2）連接OQ，可得△OBQ是等腰三角形，所以∠OBQ=∠OQB，由QE是⊙O的切線可得OQ⊥QE，根據圓周角定理可得∠AQB=135°，從而得到∠OQA=135°-∠OQB，然后整理即可得到∠OBP-∠AQE=45°．

解答：（1）證明：如圖①，連接OQ，
∵OB=OQ，
∴∠OBP=∠OQB，
∵OA⊥OB，
∴∠BQA=

1

2

∠AOB=

1

2

×90°=45°，
∵EQ是切線，
∴∠OQE=90°，
∴∠OBP+∠AQE=∠OQB+∠AQE=90°-∠BQA=90°-45°=45°；

（2）解：如圖②，連接OQ，
∵OB=OQ，
∴∠OBQ=∠OQB，
∵OA⊥OB，
∴∠BQA=

1

2

×（360°-90°）=135°，
∴∠OQA=∠BQA-∠OQB=135°-∠OBQ，
∵EQ是切線，
∴∠OQE=90°，
∴135°-∠OBQ+∠AQE=90°，
整理得，∠OBQ-∠AQE=45°，
即∠OBP-∠AQE=45°．

點評：此題主要考查圓的切線的性質及同圓的半徑相等等知識．此題（2）問為探索題，培養同學們的類比思想和探索問題的能力，此種問題一般都是繼續利用前一問的求解思路進行求解．