Question

（2008•萊蕪）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，中線AE與中線CD交于點O，AB=6．
（1）求證：AO：OE=2：1；
（2）求OC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DE．根據三角形的中位線定理發現相似三角形，根據相似三角形的性質得到對應邊的比相等，從而證明結論；
（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD的長，再根據（1）中的結論得到OC的長．
解答：（1）證明：連接DE
則DE是△ABC的中位線，DE∥AC，DE=AC
∴∠OAC=∠OED，∠OCA=∠ODE
∴△OAC∽△OED
∴AO：OE=OC：OD=AC：DE=2：1

（2）解：CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，AB=6
∴CD=AB=3
由（1）可知，OC：OD=2：1
∴OC=CD=2．
點評：此題實際上根據三角形的中位線定理證明了三角形的重心的性質：三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍．