Question

26、如圖，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，將正三角形的一個頂點P放在射線OM上，兩邊分別與OA、OB交于點C、D．

（1）如圖①若邊PC和OA垂直，那么線段PC和PD相等嗎？為什么？
（2）如圖②將正三角形繞P點轉過一角度，設兩邊與OA、OB分別交于C′，D′，那么線段PC′和PD′相等嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）PC、PD相等，可通過△OCP≌△ODP來實現；若PC與OA垂直，可求得∠OPC=∠OPD=30°，而OM平分∠AOB，加上公共邊OP，即可證得所求的三角形全等，由此得證．
（2）按照（1）的思路，可通過△PCC′≌△PDD′來得到所求的結論；由（1）得：∠PCC′=∠PDD′=90°，且PC=PD，根據旋轉的性質知：∠CPC′=∠DPD′，由此可證得所求的三角形全等，即可得證．

解答：解：（1）PC和PD相等．
理由：∵OM平分∠AOB，
∴∠POC=∠POD=60°，
∵PC⊥OA，
∴∠CPO=180°-90°-60°=30°，
∵∠CPD=60°，
∴∠DPO=∠CPD-∠CPO=30°，
∴∠CPO=∠DPO；
∵PO=PO，
∴△PCO≌△PDO（ASA），
∴PC=PD．

（2）PC′和PD′相等．
理由：由（1）得△PCO≌△PDO，
∴PC=PD，∠PCC′=∠PDD′=90°，
∵∠CPD=∠C′PD′，
∴∠CPD-∠C′PD=∠C′PD′-∠C′PD，
即∠CPC′=∠DPD′，
∴根據“ASA”，可以得到△PCC′≌△PDD′．
∴PC′=PD′．

點評：此題主要考查的是全等三角形的判定和性質以及角平分線的定義及等邊三角形的性質；證明三角形全等是正確解答本題的關鍵．