Question

在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點坐標分別為O（0，0），A（50，0），B（50，50），C（0，50）．若正方形OABC的內部（邊界及頂點除外）一格點P（“格點”是指在平面直角坐標系中橫、縱坐標均為整數的點）滿足S_△POA•S_△PBC=S_△PAB•S_△POC，就稱P為“好點”．
（1）請你判斷：P（20，15）是“好點”嗎？
（2）求出正方形OABC內部“好點”的個數．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面積公式把點P（20，15）代入好點的條件，如果滿足，則點P是“好點”，如果不滿足，則點P不是“好點”；
（2）設點P的坐標為（x，y），把點P的坐標代入好點條件，求出x與y的關系式，然后根據關系式找出在正方形內的點的坐標的個數，就是“好點”的個數．

解答：解：（1）∵S_△POA•S_△PBC=

1

2

×50×15×

1

2

×50×35=25²×15×35，
S_△PAB•S_△POC=

1

2

×50×30×

1

2

×50×20=50²×30×20，
∴S_△POA•S_△PBC≠S_△PAB•S_△POC．
∴P（20，15）不是“好點”．

（2）設P（x，y），其中x，y均為正整數，且0＜x＜50，0＜y＜50．
由S_△POA•S_△PBC=S_△PAB•S_△POC，
得y（50-y）=x（50-x），即x²-y²-50x+50y=0，即（x-y）（x+y-50）=0．
∴x=y或x+y=50．
于是，點P在對角線OB或AC上．
故滿足條件的“好點”共有2×49-1=97（個）．

點評：本題通過正方形的性質考查了“好點”，有新意，只要利用三角形的面積，根據“好點”的定義列式進行計算即可判斷，難度不大．