Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為等邊三角形，其中點A、B、C的坐標(biāo)分別為（-3，-1）、（-3，-3）、（-3+，-2）．現(xiàn)以y軸為對稱軸作△ABC的對稱圖形，得△A₁B₁C₁，再以x軸為對稱軸作△A₁B₁C₁的對稱圖形，得△A₂B₂C₂．
（1）直接寫出點C₁、C₂的坐標(biāo)；
（2）能否通過一次旋轉(zhuǎn)將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A₂B₂C₂的位置？你若認(rèn)為能，請作出肯定的回答，并直接寫出所旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；你若認(rèn)為不能，請作出否定的回答（不必說明理由）；
（3）設(shè)當(dāng)△ABC的位置發(fā)生變化時，△A₂B₂C₂、△A₁B₁C₁與△ABC之間的對稱關(guān)系始終保持不變．
①當(dāng)△ABC向上平移多少個單位時，△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂完全重合并直接寫出此時點C的坐標(biāo)；
②將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α°（0≤α≤180），使△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂完全重合，此時α的值為多少點C的坐標(biāo)又是什么？

Answer 1

解：（1）點C₁、C₂的坐標(biāo)分別為（3-，-2）、（3-，2）．

（2）能通過一次旋轉(zhuǎn)將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A₂B₂C₂的位置，所旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為180°；

（3）①當(dāng)△ABC向上平移2個單位時，△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂完全重合，此時點C的坐標(biāo)為（-3+，0）（如圖1）；
②當(dāng)α=180時，△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂完全重合，此時點C的坐標(biāo)為（-3-，0）（如圖2）．
分析：（1）直接根據(jù)軸對稱的性質(zhì)：縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)可求；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為180°能通過一次旋轉(zhuǎn)將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A₂B₂C₂的位置；
（3）根據(jù)圖形和平移的性質(zhì)可知①當(dāng)△ABC向上平移2個單位時，△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂完全重合，此時點C的坐標(biāo)為（-3+，0）；
利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知②當(dāng)α=180時，△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂完全重合，此時點C的坐標(biāo)為（-3-，0）．
點評：本題考查軸對稱和旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點-旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．掌握旋轉(zhuǎn)，平移和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．