Question

【題目】梯形中，，，，，、在上，平分，平分，、分別為、的中點，和分別與交于和，和交于點．

（1）求證：；

（2）當點在四邊形內部時，設，，求關于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）當時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）3或．

【解析】

（1）由中位線的性質，角平分線的定義和平行線的性質得出，易證，則結論可證；

（2）過作交于點K，過點D作交于點，則得到矩形，則有，，然后利用（1）中的結論有， ，在中，利用含30°的直角三角形的性質可得出QC，DQ的長度，然后在中利用勾股定理即可找到y關于x的函數關系式；

（3）分兩種情況：點在梯形內部和點在梯形內部，當點在梯形內部時，有；當點在梯形內部時，有 ，分別結論（2）中的關系式即可求出EG的長度．

（1）證明：、分別是、的中點，

．

平分，

．

又，

，

，

．

點是的中點，

．

．

（2）過作交于點K，過點D作交于點，

∵，，，

∴四邊形是矩形，

，．

，，

，

同理：．

在中，

，

，，

．

，

．

在中，．

，

即．

．

（3）①點在梯形內部．

∵是梯形的中位線，

，

即．

解得：，

即．

②點在梯形內部．

同理：．

解得：，

即．

綜上所述，EG的長度為3或．