Question

如圖，已知點C為線段AE上一點，AE=8cm，△ABC和△CDE為AE同側(cè)的兩個等邊三角形，連接BE交CD于N，連接AD交BC于M，連接MN．
（1）求證：AD=BE；
（2）求證：MN∥AE；
（3）若點C在AE上運動（點C不與A、E重合），當(dāng)點C運動到什么位置時，線段MN的長度最大？最大值是多少？

Answer 1

解：∵△ABC和△CDE為等邊三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°．
∴，∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中
∵，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠EAD=∠CBE．
∵∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，且∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACB=∠BCD．
在△BCN和△ACM中
∵．
∴△BCN≌△ACM，
∴CM=CN，且∠BCD=60°，
∴△CMN是等邊三角形．
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠ACB，
∴MN∥AE．
（3）∵△CMN是等邊三角形，
∴CN=MN．
∵，∠ACB=∠DCE=60°，
∴CD∥AB，
∴△CEN∽△AEB，
∴．
設(shè)CE為x，則有AC=AB=8-x．
∴，
∴NC=x-x²．
∴NC=-（x-4）²+2，
∴當(dāng)x=4時，NC有最大值是2．
即點C在AE的中點時，線段MN最大，最大值是2．
分析：（1）由條件可以得出BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，可以得出∠ACD=∠BCE，就可以△ACD≌△BCE，從而可以得出結(jié)論．
（2）由△ACD≌△BCE可以得出∠EAD=∠CBE，有BC=AC，由平角的定義可以得出∠BCD=60°，就有∠ACB=∠BCD，可以得出△BCN≌△ACM，就可以得出CM=CN，從而得到△CMN為等邊三角形，就有∠CMN=60°，得出∠CMN=∠ACB，就得出MN∥AE．
（3）由△CMN為等邊三角形，就有MN=CN，由條件可以得出CN∥AB，設(shè)CE=x，就可以用相似三角形的性質(zhì)把CN用含x的函數(shù)式表示出來，從而求出其C點的位置進(jìn)和最大值．
點評：本題考查了平行線分線段成比例的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值的運用．在解答的過程中書寫全等三角形時對應(yīng)頂點的字母要寫在對應(yīng)的位置上，靈活運用頂點式求最值．