Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為斜邊作Rt△ABD，使點D落在△ABC內，∠ADB＝90°．

（1）若AB＝AC，把△ABD繞點A逆時針旋轉，得到△ACE，連接ED并延長交BC于點P，請動手在圖1中畫出圖形，并直接寫出∠BDP與∠BAC的數量關系 ；

（2）求證：BP＝CP；

（3）如圖2，若AD＝BD，過點D作直線DE⊥AC于E交BC于F，且AE＝EC，若BF＝3，AC＝，則BD＝ （請直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）如圖示，四邊形ABCE為所求.

（2）證明見詳解.

（3）

【解析】

（1）作圖，由旋轉得到，，所以，利用，，則可以求出.

（2）在ED上截取EQ=PD，利用△BDP≌△CEQ，∠DBP=∠QCE，即可得到BP=CP.

（3）連接AF、CD．利用勾股定理可以求出， ，的三邊關系，然后利用等量代換則可求出．

解

（1） 如圖示，四邊形ABCE為所求.

∵

∴

∵由旋轉得到，

∴

∴

∴

（2）如圖2，

在ED上截取EQ=PD，
∵∠ADB=90°，
∴∠BDP+∠ADE=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵把△ABD繞點A逆時針旋轉一定角度，得到△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=90°
∵∠AED+∠PEC=90°，
∴∠BDP=∠PEC，
在△BDP和△CEQ中，
，
∴△BDP≌△CEQ，
∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，
∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，∠PQC=∠PEC+∠QCE，
∴∠EPC=∠PQC，
∴PC=CQ，
∴BP=CP

（3）

如圖3，連接AF、CD．
∵EF⊥AC，且AE=EC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
∵EF⊥AC，且AE=EC，
∴∠DAC=∠DCA，DA=DC，
∵AD=BD，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠DAF=∠DCB，
∴∠DAF=∠DBC，
∴∠AFB=∠ADB=90°，
在中，DA=DB，
∴，
在中，，
∵
∴

在中，FC=AF，
∴

∴

即：

∴．