Question

（2007•萊蕪）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AC=BC，D為⊙O中上一點，延長DA至點E，使CE=CD．
（1）求證：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求證：AD+BD=CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證出△AEC≌△BDC，只要再找一對角相等就可以了，利用邊相等，可得∠CAB=∠CBA，∠CEA=∠CDE，而∠CAB=∠CDB=∠CDE，故∠CEA=∠CDB，（CE=CD，∠CAE=∠CBD）再利用SAS可證出△AEC≌△BDC．
（2）利用（1）中的全等，可得，AE=BD，∠ECA=∠DCB，那么就有∠ECD=∠ECA+∠ACD=90°，根據勾股定理得DE=CD，而DE=AD+AE=AD+BG，所以有AD+BD=CD．
解答：證明：（1）∵△ABC是⊙O的內接三角形，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED；
又∵∠ABC=∠CDE，
∴∠ABC=∠BAC=∠CDE=∠CED，（同弧上的圓周角相等）
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCD=∠ACE，
AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD；
在△AEC和△BDC中，
∴△AEC≌△BDC（SAS），
∴AE=BD．

（2）∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°；
又∵CD=CE，
∴△DCE為等腰直角三角形，
∴DE=CD，
又∵DE=AD+AE且AE=BD，
∴AD+BD=CD．
點評：本題利用了同弧上的圓周角相等，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，還有圓內接四邊形的外角等于其內對角等知識．