Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上運(yùn)動(dòng)，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）求四邊形MEFN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）分別過(guò)D，C兩點(diǎn)作DG⊥AB于點(diǎn)G，CH⊥AB于點(diǎn)H，由AB∥CD，DG∥CH，得到矩形DCCHG，即GH=1，根據(jù)勾股定理求出DG的長(zhǎng)，即可求出梯形的面積；
（2）與（1）類(lèi)似求出矩形MEFN，再證明△MEA≌△NFB，得到AE=BF，設(shè)AE=x，則EF=7-2x，根據(jù)△MEA∽△DGA，求出ME=

4

3

x，根據(jù)矩形的面積公式即可求出S和x的關(guān)系式，化成頂點(diǎn)式即可求出答案．

解答：解：（1）分別過(guò)D，C兩點(diǎn)作DG⊥AB于點(diǎn)G，CH⊥AB于點(diǎn)H，
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH，
∴∠DGH=∠CHG=∠CDG=90°，
∴四邊形DGHC為矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL），
∴AG=BH=

1

2

×（7-1）=3，
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
由勾股定理得：DG=4，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•DG
=

1

2

×（1+7）×4
=16．
答：梯形ABCD的面積是16．

（2）∵M(jìn)N∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴∠MEF=90°，
∴ME=NF，ME∥NF，
∴四邊形MEFN為矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵M(jìn)E=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF，
設(shè)AE=x，則EF=7-2x，
∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA，
∴

AE

AG

=

ME

DG

．
∴ME=

4

3

x，
S_矩形MEFN=ME•EF=

4

3

x（7-2x）=-

8

3

（x-

7

4

）²+

49

6

．
當(dāng)x=

7

4

時(shí)，ME=

7

3

＜4，
∴四邊形MEFN面積的最大值為

49

6

．
答：四邊形MEFN面積的最大值是

49

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，等腰梯形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．題型較好，綜合性強(qiáng)，有一定的難度．