Question

已知邊長為3的正方形ABCD中，點E在射線BC上，且BE=2CE，連接AE交射線DC于點F，若△ABE沿直線AE翻折，點B落在點B₁處．
（1）如圖1，若點E在線段BC上，求CF的長；
（2）求sin∠DAB₁的值；
（3）如果題設中“BE=2CE”改為“=x”，其它條件都不變，試寫出△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關系式及自變量x的取值范圍（只要寫出結論，不需寫出解題過程）．

Answer 1

解：（1）∵AB∥DF，
∴=，
∵BE=2CE，AB=3，
∴=，
∴CF=；

（2）①若點E在線段BC上，如圖1，設直線AB₁與DC相交于點M．
由題意翻折得：∠1=∠2．
∵AB∥DF，
∴∠1=∠F，
∴∠2=∠F，
∴AM=MF．
設DM=x，則CM=3-x．
又CF=1.5，
∴AM=MF=-x，
在Rt△ADM中，AD²+DM²=AM²，
∴3²+x²=（-x）²，
∴x=，
∴DM=，AM=，
∴sin∠DAB₁==；
②若點E在邊BC的延長線上，如圖2，設直線AB1與CD延長線相交于點N．
同理可得：AN=NF．
∵BE=2CE，
∴BC=CE=AD．
∵AD∥BE，
∴=，
∴DF=FC=，
設DN=x，則AN=NF=x+．
在Rt△ADN中，AD²+DN²=AN²，
∴3²+x²=（x+）²，
∴x=．
∴DN=，AN=sin∠DAB₁==；

（3）若點E在線段BC上，y=，定義域為x＞0；
若點E在邊BC的延長線上，y=，定義域為x＞1．
分析：（1）利用平行線性質以及線段比求出CF的值；
（2）本題要分兩種方法討論：①若點E在線段BC上；②若點E在邊BC的延長線上．需運用勾股定理求出與之相聯的線段；
（3）本題分兩種情況討論：若點E在線段BC上，y=，定義域為x＞0；若點E在邊BC的延長線上，y=，定義域為x＞1．
點評：本題考查正方形的性質，線段比以及勾股定理等相關知識的綜合運用，注意兩種情況的分析探討．