Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E在△ABC內，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點F在邊AB上，EF∥BC．

（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形；

（2）線段BF、AB、AC的數量之間具有怎樣的關系？證明你所得到的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BF=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）．見解析

【解析】

試題分析：（1）證明△AGE≌△ACE，根據全等三角形的性質可得到GE=EC，再利用三角形的中位線定理證明DE∥AB，再加上條件EF∥BC可證出結論；

（2）先證明BF=DE=BG，再證明AG=AC，可得到BF=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）．

（1）證明：延長CE交AB于點G，

∵AE⊥CE，

∴∠AEG=∠AEC=90°，

在△AEG和△AEC中，

∴△AGE≌△ACE（ASA）．

∴GE=EC．

∵BD=CD，

∴DE為△CGB的中位線，

∴DE∥AB．

∵EF∥BC，

∴四邊形BDEF是平行四邊形．

（2）解：BF=（AB﹣AC）．

理由如下：

∵四邊形BDEF是平行四邊形，

∴BF=DE．

∵D、E分別是BC、GC的中點，

∴BF=DE=BG．

∵△AGE≌△ACE，

∴AG=AC，

∴BF=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）．