Question

圖1是兩個正方形紙片ABCD和CEFG疊放在一起，分別以BC邊所在直線和BC邊的中垂線為坐標軸建立如圖所示的坐標系，其中B（-2，0），E（2，），C（2，0），固定正方形ABCD，直線L經過AC兩點；將正方形CEFG繞點C順時針旋轉135°得到正方形CE₁F₁G₁，
（1）在圖2中求點E₁的坐標，并直接寫出點E₁與直線L的位置關系．
（2）利用（1）的結論，將圖2中的正方形CE₁F₁G₁在射線CA上沿著CA方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的正方形CE₁F₁G₁設為正方形PQRH（圖3），當點R移動到點A停止，設正方形PQRH移動的時間為t秒，正方形PQRH與正方形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數解析式，并寫出函數自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，如果S=1時，過BP的直線為m，M點為直線m上的動點，N為直線L上的動點，那么是否存在平行四邊形MNBC，如果存在，請求出M點的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由E點坐標可知正方形?CEFG邊長，那么其對角線CF長度為2，
正方形CEFG繞點C順時針旋轉135° 后CE與x軸夾角為45°，
C坐標（2，0），那么E₁坐標為（3，-1），E₁ 在直線L上．

（2）當0≤t≤時，S=t²；
當＜t≤時，S=-t²+2t-2；
當2＜t≤3時，S=2；
當3＜t≤4時 S=-t²+3t-7；
當4＜t≤5時，S=t²-5t+25；

（3）S=1時，當t≤ 時，解t²=1，解得：t=；
當＜t≤時，解2-（2-t）²=1，解得：t=或3，（舍去）；
當＜t≤時，解（4-t）²=1，解得：t=3或5（5不合題意，舍去）．
則t=或3．
1）當t=時，那么P位于CD中點處，P的坐標是：（2，2），設直線m的解析式是y=kx+b，
則，
解得：
則直線m表達式，
直線L表達式y=-x+2
設MN的縱坐標是a，則
在中，令y=a，解得：x=2（a-1），則M的橫坐標是2（a-1）；
在y=-x+2中，令y=a，則x=2-a，即N的橫坐標是：（2-a）．
根據BC=4，則：2（a-1）-（2-a）=4，解得：a=，
把y=代入中，解得：x=．
則M的坐標為．
2）當t=3時，P是AD與y軸的交點，則P的坐標是：（0，4）．
設直線m的解析式是y=kx+b，
則，
解得：，
則m的解析式是：y=2x+4．
同1）方法相同，設MN的縱坐標是a，則
在y=2x+4中，令y=a，解得：x=（a-4），則M的橫坐標是（a-1）；
在y=-x+2中，令y=a，則x=2-a，即N的橫坐標是：（2-a）．
根據BC=4，則：（a-4）-（2-a）=4，解得：a=，
把y=代入y=2x+4中，解得x=-．
則M的坐標是：（-，）．
故M的坐標是：（，）或（-，）
分析：（1）CEFG是邊長是的正方形，則△CE₁F₁是等腰直角三角形，直角邊長是，則E₁的坐標即可求解，E₁與AC在一條直線上；
（2）分0≤t≤，當＜t≤，＜t≤3，3＜t≤，4＜t≤5五種情況利用三角形的面積公式即可求解；
（3）在（2）中所求的解析式中，利用S=1，即可求得t的值，從而確定P的坐標，則直線m，l的解析式即可求得，四邊形MNBC是平行四邊形時，M、N的縱坐標一定相等，橫坐標的差等于BC的長，據此即可得到一個關于縱坐標的方程，解方程即可求得M、N的縱坐標，進而得到坐標．
點評：本題是一次函數與平行四邊形的綜合題，考查了平行四邊形的性質，以及待定系數法求函數解析式，注意到M、N兩點的縱坐標相等是解題的關鍵．