Question

如圖1，已知O是銳角∠XAY的邊AX上的動點，以點O為圓心、R為半徑的圓與射線AY切于點B，交射線OX于點C，連接BC，作CD⊥BC，交AY于點D．
（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）若P是AY上一點，AP=4，且sinA=，
①如圖2，當點D與點P重合時，求R的值；
②當點D與點P不重合時，試求PD的長（用R表示）．

Answer 1

（1）證明：由已知，CD⊥BC，
∴∠ADC=90°-∠CBD．
又∵⊙O切AY于點B，
∴OB⊥AB．
∴∠OBC=90°-∠CBD．
∴∠ADC=∠OBC．
又在⊙O中，OB=OC=R，
∴∠OBC=∠ACB．
∴∠ACB=∠ADC．
又∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．

（2）解：由已知，sinA=，
又OB=OC=R，OB⊥AB，
∴在Rt△AOB中，AO==R，AB==R．
∴AC=R+R=R．
由（1）已證，△ABC∽△ACD，
∴．
∴．
因此AD=R．
①當點D與點P重合時，AD=AP=4，
∴R=4．
∴R=．
②當點D與點P不重合時，有以下兩種可能：
（i）若點D在線段AP上（即0＜R＜），PD=AP-AD=4-R，
（ii）若點D在射線PY上（即R＞），PD=AD-AP=R-4，
綜上，當點D在線段AP上（即0＜R＜）時，PD=4-R，
當點D在射線PY上（即R＞）時，PD=R-4，
又當點D與點P重合（即R=）時，PD=0，故在題設條件下，總有PD=|R-4|（R＞0）．
分析：（1）根據切線的性質得到∠ABO=90°，易證∠ABC=∠ACD，從而根據兩個角對應相等得到兩個三角形相似；
（2）根據（1）中的相似三角形得到對應邊的比相等，再結合銳角三角函數的概念，把AD用R表示，①根據AD=AP求得R的值；②應分兩種情況討論，點D可能在點P的左側或右側．
點評：此題要能夠熟練運用切線的性質定理、相似三角形的性質和判定．