Question

如圖，直線y=

3

x+2

3

與x軸交于點A、與y軸交于點D，以AD為腰，以x軸為底作等腰梯形ABCD（AB＞CD），且等腰梯形的面積是8

3

，二次函數y=ax²+bx+c經過等腰梯形的四個頂點．
（1）求點A，B，C的坐標
（2）求拋物線的解析式；
（3）若點P為x軸上的一個動點，當點P運動到什么位置時，△ADP為等腰三角形，求這時點P的坐標；
（4）若點P為拋物線上的一個動點，是否存在點P使△ADP為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，簡要地進行說明有幾個，并至少求出其中的一個點坐標．

Answer 1

分析：（1）過C作CE⊥AB于E，利用矩形的性質分別求得三點的坐標即可；
（2）利用上題求得的點的坐標，用待定系數法求得二次函數的解析式即可；
（3）根據點P為x軸上的一個動點分兩種情況討論得到點p的坐標即可；
（4）假設存在這樣的點p，從存在出發將M、N的點的坐標代入到函數的解析式中得到有關的方程組求得點P的坐標即可．

解答：解：（1）過C作CE⊥AB于E，
則△AOD≌△BCE，四邊形CDOE為矩形，
∴CD=OE，AO=BE，
y=

3

x+2

3

中x=0，y=2

3

；x=-2，y=0，

1

2

×2

3

×（2+2+2OE）=8

3

，
∴OE=CD=2，
∴C（2，2

3

），B（4，0），A（-2，0），

（2）∵二次函數y=ax²+bx+c經過A、C、B三點（3分）
∴

4a-2b+c=0 4a+2b+c=2 3 16a+4b+c=0

解得：

a=- 3 4 b= 3 2 c=2 3

∴拋物線的解析式為：y=-

3

4

x²+

3

2

x+2

3

（5分）

（3）點P為x軸上的一個動點
∵在△AOD中，∠DOA=90°，可求得AD=4=2AO，
∴∠ADO=30°，∠DAO=60°；
當P在A右邊時，
∵△ADP為等腰三角形，
∴△ADP是等邊三角形，
∴AP=AD=4，
∴P的坐標是（2，0）；
當P在A左邊時，△ADP是以A為頂點的等腰三角形，AO=AD=4，點P的坐標為（-6，0）．（10分）

（4）滿足條件的拋物線上的點有四個，其中以AD為腰的等腰三角形有兩個，以AD為底的等腰三角形有兩個．
以AD為底的等腰三角形的點P有兩個，P一定在AD的垂直平分線，由△AOD≌△AMN得：點M、N的坐標為
M（-1，

3

），N（2，0），則直線MN：y=-

3

3

x+

2 3

3

，
∵二次函數：y=-

3

4

x²+

3

2

x+2

3

，組
成方程組解得：

x= 5+ 73 3 y= 3 - 219 9

x= 5- 73 3 y= 3 - 219 9

∴P₁（

5+ 73

3

，

3 - 219

9

），P₂（

5- 73

3

，

3 + 219

9

）（14分）

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式等知識．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．