Question

已知，如圖，△OAB中，OA=OB，⊙O經過AB的中點C，且與OA、OB分別交于點D、E．

（1）如圖①，判斷直線AB與⊙O的位置關系并說明理由；
（2）如圖②，連接CD、CE，當△OAB滿足什么條件時，四邊形ODCE為菱形，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）相切；
理由如下：如圖①，連接OC．
∵OA=OB，點C是線段AB的中點，
∴OC⊥AB；
又∵OC是⊙O的半徑，點C在⊙O上，
∴直線AB與⊙O相切；

（2）如圖②，連接OC，則OC=OD；
∵四邊形ODCE為菱形，
∴OD=CD，
∴OC=OD=CD，
∴△ODC為等邊三角形，
∴∠AOC=60°．
由（1）知，∠OCA=90°，
∴∠A=30°（或∠B=30°或∠AOB=120°）．
分析：（1）連接OC．利用等腰三角形的“三合一”的性質證得OC⊥AB，即直線AB與⊙O相切；
（2）根據菱形的性質，求得OD=CD，則△ODC為等邊三角形，可得出∠A=30°．
點評：本題考查了切線的判定與性質、菱形的性質．菱形是四條邊都相等的平行四邊形．