Question

我們學(xué)習(xí)了“弧、弦、圓心角的關(guān)系”，實(shí)際上我們還可以得到“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”如下：圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角i兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們對應(yīng)的其余各組量也相等．（弦心距指從圓心到弦的距離（如圖（1）中的OC、OC′），弦心距也可以說成圓心到弦的垂線段的長度．）
請直接運(yùn)用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系解答下列問題．
如圖（2），O是∠EPF的平分線上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心的圓與角的兩邊分別交子點(diǎn)A、B、C、D．
（1）求證：AB=CD；
（2）若角的頂點(diǎn)P在圓上或圓內(nèi)，上述結(jié)論還成立嗎？若不成立，請說明理由；若成立，請加以證明．

Answer 1

（1）證明：如圖1，過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
則∠OMB=∠OND=90°，
∵PO平分∠EPF，
∴OM=ON，
在Rt△OMB和Rt△OND中

∴Rt△OMB≌Rt△OND（HL），
∴BM=DN，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，OM、ON過O，
∴AB=2BM，CD=2DN，
∴AB=CD；
（2）還成立，
證明：如圖2，當(dāng)P在⊙O上時(shí)，
∵由（1）知：BM=DN，AB=2BM，CD=2DN，
∴AB=CD；
當(dāng)P在⊙O內(nèi)時(shí)，如圖3，
∵由（1）知：BM=DN，AB=2BM，CD=2DN，
∴AB=CD．
分析：（1）過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，求出ON=OM，證△OMB≌△OND，推出BM=DN，根據(jù)垂徑定理得出AB=2BM，CD=2DN，即可得出答案；
（2）過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，求出ON=OM，證△OMB≌△OND，推出BM=DN，根據(jù)垂徑定理得出AB=2BM，CD=2DN，即可得出答案．
點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理，角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較好，證明過程類似．