Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+1與拋物線y=ax²+bx-3交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3．點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動點(diǎn)（不與A、B點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，作PD⊥AB于點(diǎn)D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①用含有m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；
②連接PB，線段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，直接寫出m的值，使這兩個(gè)三角形的面積之比為9：10？若存在，直接寫出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由x+1=0，得x=-2，∴A（-2，0）．
由x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．
∵y=ax²+bx-3經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
∴
∴，
則拋物線的解析式為：y=x²-x-3，
設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)E，則E（0，1）．
∵PC∥y軸，
∴∠ACP=∠AEO．
∴sin∠ACP=sin∠AEO===．

（2）①由（1）知，拋物線的解析式為y=x²-x-3．則點(diǎn)P（m，m²-m-3）．
已知直線AB：y=x+1，則點(diǎn)C（m，m+1）．
∴PC=m+1-（m²-m-3）=-m²+m+4=-（m-1）²+
Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[-（m-1）²+]•=-（m-1）²+
∴PD長的最大值為：．

②如圖，分別過點(diǎn)D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分別為F、G．
∵sin∠ACP=，
∴cos∠ACP=，
又∵∠FDP=∠ACP
∴cos∠FDP==，
在Rt△PDF中，DF=PD=-（m²-2m-8）．
又∵BG=4-m，
∴===．
當(dāng)==時(shí)，解得m=；
當(dāng)==時(shí)，解得m=．
分析：（1）已知直線AB的解析式，首先能確定A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定a、b的值；若設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為E，E點(diǎn)坐標(biāo)易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，則∠ACP的正弦值可得．
（2）①已知P點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AB、拋物線的解析式，求出C、P的坐標(biāo)，由此得到線段PC的長；在Rt△PCD中，根據(jù)（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表達(dá)式，再根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)求出PD長的最大值．
②在表達(dá)△PCD、△PBC的面積時(shí)，若都以PC為底，那么它們的面積比等于PC邊上的高的比．分別過B、D作PC的垂線，首先求出這兩條垂線段的表達(dá)式，然后根據(jù)題干給出的面積比例關(guān)系求出m的值．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及解析式的確定、解直角三角形、圖形面積的求法等知識，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力．