Question

【題目】如圖，點C在以AB為直徑的半圓O上，延長BC到點D，使得CD=BC，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F，點G為DF的中點，連接CG、OF、FB．

（1）求證：CG是⊙O的切線；

（2）若△AFB的面積是△DCG的面積的2倍，求證：OF∥BC．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）連接OC．欲證CG是⊙O的切線，只需證明∠CGO=90°，即CG⊥OC；

（2）根據直角三角形ABC、直角三角形DCF的面積公式，以及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求得AC=2AF；然后根據三角形中位線的判定與定理證得該結論．

證明：（1）如圖，連接OC．

在△ABC中，∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）；

又∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO（等邊對等角）；

在Rt△DCF中，∵點G為DF的中點，∴CG=GF（直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半），

∴∠GCF=∠CFG（等邊對等角）；

∵DE⊥AB（已知），∠CFG=∠AFE（對頂角相等）；

∴在Rt△AEF中，∠A+∠AFE=90°；

∴∠ACO+∠GCF=90°，即∠GCO=90°，

∴CG⊥OC，

∴CG是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），即AC⊥BD；

又∵CD=BC，點G為DF的中點，

∴S△AFB=S△ABC﹣S△BCF=（ACBC﹣CFBC），S△DCG=S△FCD=×DCCF=BCCF；

∵△AFB的面積是△DCG的面積的2倍，

∴（ACBC﹣CFBC）=2×BCCF，

∴AC=2CF，即點F是AC的中點；

∵O點是AB的中點，

∴OF是△ABC的中位線，

∴OF∥BC．