Question

在一次科學探究實驗中，小明將半徑為5cm的圓形濾紙片按圖1所示的步驟進行折疊，并圍成圓錐形．
（1）取一漏斗，上部的圓錐形內壁（忽略漏斗管口處）的母線OB長為6cm，開口圓的直徑為6cm．當濾紙片重疊部分三層，且每層為圓時，濾紙圍成的圓錐形放入該漏斗中，能否緊貼此漏斗的內壁（忽略漏斗管口處），請你用所學的數學知識說明；
（2）假設有一特殊規格的漏斗，其母線長為6cm，開口圓的直徑為7.2cm，現將同樣大小的濾紙圍成重疊部分為三層的圓錐形，放入此漏斗中，且能緊貼漏斗內壁．問重疊部分每層的面積為多少？

Answer 1

解：解法一：
∵表面緊貼的兩圓錐形的側面展開圖為圓心角相同的兩扇形，
∴表面是否緊貼只需考慮展開圖的圓心角是否相等．
由于濾紙圍成的圓錐形只有最外層側面緊貼漏斗內壁，故只考慮該濾紙圓錐最外層的側面和漏斗內壁圓錐側面的關系．
將圓形濾紙片按圖示的步驟折成四層且每層為圓，
則圍成的圓錐形的側面積=（1-2×）S_濾紙圓=S_濾紙圓．
∴它的側面展開圖是半圓，其圓心角為180度，
如將漏斗內壁構成的圓錐側面也抽象地展開，展開的扇形弧長為：πd=π×6=6π（cm），
該側面展開圖的圓心角為6π÷6×=180度．
由此可以看出兩圓錐的側面展開得到的扇形，它們的圓心角相等．
∴該濾紙圍成的圓錐形必能緊貼漏斗內壁．

解法二：
∵圓錐可以看作是等腰三角形圍繞其對稱軸旋轉而成的幾何圖形，其正視圖和側視圖皆為全等的等腰三角形，
∴如濾紙片能緊貼漏斗內壁，由其兩母線和開口圓的直徑構成的等腰三角形必與漏斗兩母線和開口圓的直徑構成的等腰三角形相似或頂角相同．
根據題意可得，濾紙圍成的圓錐形開口圓的圓周長應為（1-2×）×2π×5=5π（cm），
由此可得其開口圓的直徑為5cm，
∵濾紙圓錐的兩母線長和開口圓的直徑都是5cm；漏斗兩母線長和開口圓的直徑都是6cm，
∴兩三角形皆為等邊三角形．
故兩等邊三角形相似且角相等，所以濾紙片能緊貼漏斗內壁；

（2）如果抽象地將母線長為6cm，開口圓直徑為7.2cm的特殊規格的漏斗內壁圓錐側面展開，得到的扇形弧長為7.2πcm，
圓心角為7.2π÷6×=216度，
濾紙片如緊貼漏斗壁，其圍成圓錐的最外層側面展開圖的圓心角也應為216°，
又∵重疊部分每層面積為圓形濾紙片的面積減去圍成圓錐的最外層側面展開圖的面積的差的一半，
∴濾紙重疊部分每層面積=（25π-×25π）÷2=5π（cm²）．
分析：此題是圓錐側面積求解的典型問題，要靈活運用公式，并結合實際解題．
點評：將幾何圖形做適當變形，找出隱藏條件是解一些復雜幾何問題常用的方法．