Question

如圖所示，⊙O沿著凸n邊形A₁A₂A₃…A_n-1A_n的外側（圓和邊相切）作無滑動的滾動一周回到原來的位置．
（1）當⊙O和凸n邊形的周長相等時，證明：⊙O自身轉動了兩圈；
（2）當⊙O的周長是a，凸n邊形的周長是b時，請寫明此時⊙O自身轉動的圈數．

Answer 1

分析：（1）根據圓自身轉動的圈數=線段的長度÷圓的周長，設∠A₂A₁A_n為鈍角，可證明⊙O滾動經過頂點A₁自身轉動的角度恰好等于頂點A₁的一個外角．即當⊙O和凸n邊形的周長相等時，證明⊙O自身轉動了兩圈；
（2）有上面的結果，可得⊙O自身轉動的圈數是(

b

a

+1)圈．

解答：（1）證明：一個圓沿著線段的一個端點無滑動地滾動到另一個端點，圓自身轉動的圈數=（線段的長度÷圓的周長），因此若不考慮⊙O滾動經過n個頂點的情況，則⊙O自身恰好轉動了一圈，現證明，當⊙O在某邊的一端，滾動經過該端點（即頂點）時，⊙O自身轉動的角度恰好等于n邊形在這個頂點的一個外角．
如圖所示，設∠A₂A₁A_n為鈍角，已知A_nA₁是⊙O的切線，⊙O滾動經過端點A₁后到⊙O′的位置，此時A₁A₂是⊙O′的切線，因此OA⊥A_nA₁，O′A₁⊥A₁A₂，當⊙O轉動至⊙O′時，則∠γ就是⊙O自身轉動的角．
∵∠γ+∠β=90°，∠α+∠β=90°，∴∠γ+∠α，即⊙O滾動經過頂點A₁自身轉動的角度恰好等于頂點A1的一個外角．對于頂點是銳角或直角的情況，類似可證（注：只證明直角的情況）
∵凸n邊形的外角和為360°
∴⊙O滾動經過n個頂點自身又轉動一圈．

（2）解：由（1）可得，⊙O自身轉動的圈數是(

b

a

+1)圈．

點評：本題考查了弧長公式的實際應用，有一定的難度，要仔細考慮．