Question

【題目】如圖，在ABC中，高AD、BE相交于點O，AE＝BE，BC＝5，且BD＝CD.

(1)①求證:△AOE≌△BCE；②求線段AO的長.

(2)動點P從點O出發，沿線段OA以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，動點Q從點B出發沿射線BC以每秒4個單位長度的速度運動，P、Q兩點同時出發，當點P到達A點時，P、Q兩點同時停止運動.設點P的運動時間為t秒，△POQ的面積為S，請用含t的式子表示S，并直接寫出t相應的的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)①見解析；②5；（2）S＝

【解析】

(1) ①根據ASA證明△AOE≌△BCE；

②由①中△AOE≌△BCE可得AO＝BC＝5；

(2)分兩種情形討論求解即可：①當點Q在線段BD上時，QD=2-4t，②當點Q在射線DC上時，DQ=4t-2時；

（1）①∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵BE是高，
∴∠AEB=∠BEC=90°，
∴∠EAO+∠ACD=90°，∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠EAO=∠EBC，
在△AOE和△BCE中，
，

∴△AOE≌△BCE，
②∵△AOE≌△BCE，

∴AO=BC,

又∵BC=5，

∴AO＝5;

（2）∵BD=CD，BC=5，
∴BD=2，CD=3，
由題意OP=t，BQ=4t，
①當點Q在線段BD上時，QD=2-4t，
∴S=t（2-4t）=-2t2+t（0＜t＜）．
②當點Q在射線DC上時，DQ=4t-2，
∴S=t（4t-2）=2t2-t（＜t≤5），

綜合上述可得：S＝ .