Question

如圖，已知直線y=-2x+12分別與Y軸，X軸交于A，B兩點，點M在Y軸上，以點M為圓心的⊙M與直線AB相切于點D，連接MD．
（1）求證：△ADM∽△AOB；
（2）如果⊙M的半徑為2，請寫出點M的坐標，并寫出以（-，）為頂點，且過點M的拋物線的解析式；
（3）在（2）條件下，試問在此拋物線上是否存在點P使以P、A、M三點為頂點的三角形與△AOB相似？如果存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意得出MD⊥AB繼而推出∠MDA=∠AOB，∠MAD=∠BAO，然后可證明．
（2）依題意根據勾股定理求出AB的值，首先△ADM∽△AOB，利用線段比求出AM的值．已知頂點坐標代入解析式可求出a值．
（3）點P若存在，只能在y軸左側的拋物線上，有六種可能．
解答：（1）證明：∵AB是⊙M切線，D是切點，
∴MD⊥AB．
∴∠MDA=∠AOB=90°，
又∠MAD=∠BAO，
∴△ADM∽△AOB．

（2）解：直線y=-2x+12與x軸交點為B（6，0）與y軸交點為A（0，12）．
∴OA=12，OB=6，AB==6
∵△ADM∽△AOB，
∴=，
∴AM===10，
所以點M的坐標為（0，2）．
設頂點為（-，），且過點M的拋物線是y=a（x+）²+，則a=2，
∴a=-2，
∴y=-2（x+）²+，
即y=-2x²-10x+2．

（3）解：在拋物線上存在點P使以P，A，M三點為頂點的三角形與△AOB相似，由拋物線的形狀可判斷，點P若存在，只能在y軸左側的拋物線上，且只有六種可能．
∵OA：OB=2；
∴P₁A=P₃M=2AM=20，P₂A=P₄M=AM=5．
∴P₁（-20，12），P₂（-5，12），P₃（-20，2），P₄（-5，2）．
根據P₂A=5，可得P₅A=2，進而得出P₅（-4，10），
下面求P₆的坐標：顯然MP₆=MD=2，做P₆H⊥AM，H為垂足．
由P₆M²=MH•MA，得MH==2．
由P₆H²=MH•AH，得P₆H==4，
∴P₆（-4，4），
經檢驗，只有P₄、P₅的坐標滿足y=-2x²-10x+2．
∴在拋物線y=-2x²-10x+2上存在點P（-5，2），或P（-4，10），使以P、A、M三點為頂點的三角形與△AOB相似．
點評：本題綜合考查的是二次函數的有關知識以及利用待定系數法求二次函數的解析式，考生要注意的是分析問題要全面．難度較大．