Question

如圖，點A（2，6）和點B（點B在點A的右側）在反比例函數的圖象上，點C在y軸上，BC∥x軸，tan∠ACB=2，二次函數的圖象經過A、B、C三點．
（1）求反比例函數和二次函數的解析式；
（2）如果點D在x軸的正半軸上，點E在反比例函數的圖象上，四邊形ACDE是平行四邊形，求邊CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）設反比例函數的解析式為y=，由A的坐標可求出k的值，作AM⊥BC，垂足為M，交y軸于N，利用已知條件求出點B的坐標（6，2）再設二次函數的解析式為y=ax²+bx+2，把A和B的坐標代入求出a和b的值即可求出二次函數的解析式；
（2）延長AC交x軸于G，作EH⊥x軸，垂足為H，利用已知條件可證明△ACM≌△EDH，由全等三角形的性質可得：EH=AM=4，DH=CM=2，進而求出點E（3，4），所以OE=3，OD=OE-DH=1，利用勾股定理即可求出CD的長．
解答：解：（1）設反比例函數的解析式為y=，
∵點A（2，6）在反比例函數的圖象上，
∴6=，
∴k=12，
∴反比例函數的解析式為，
作AM⊥BC，垂足為M，交x軸于N，
∴CM=2．
在Rt△ACM中，AM=CM•tan∠ACB=2×2=4，
∵BC∥x軸，OC=MN=AN-AM=6-4=2，
∴點C的坐標（0，2）．
當x=2時，y=6，
∴點B的坐標（6，2）
設二次函數的解析式為y=ax²+bx+2，
則，
解得，
故二次函數的解析式為；

（2）延長AC交x軸于G，作EH⊥x軸，垂足為H，
∵在平行四邊形ACDE中，AC∥DE，
∴∠AGO=∠EDH，
∵BC∥x軸，
∴∠ACM=∠AGO，
∴∠ACM=∠EDH．
∵∠AMC=∠EHD=90°，AC=ED，
∴△ACM≌△EDH，
∴EH=AM=4，DH=CM=2．
∴點E（3，4），
∴OE=3，OD=OE-DH=1，
∴CD=．
點評：本題考查了利用待定系數法求反比例函數的解析式和二次函數的解析式、全等三角形的判定和性質以及勾股定理的運用、平行四邊形的性質，題目的綜合性很強，難度中等，解題的關鍵是正確的作出輔助線構造直角三角形．