Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2厘米/秒的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1厘米/秒的速度移動，如果P、Q同時出發，用t秒表示移動的時間（0≤t≤6），那么：
（1）當t為何值時，△QAP為等腰三角形？
（2）設△QCP的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并求出當t為何值時，△QCP的面積有最小值？最小值是多少？
（3）當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△PBC相似．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使△QAP為等腰三角形，令AQ=AP即可得出t的值；
（2）利用△QCP的面積為S=S_ABCD-S_APQ-S_CBP-S_CDQ即可求出s與t之間的函數關系式；
（3）使△QAP∽△PBC，△PAQ∽△PBC兩種情況討論即可得出以點Q、A、P為頂點的三角形與△PBC相似．
解答：解：（1）當△QAP為等腰三角形時，由于∠A為直角，只能是AQ=AP，
又∵AQ=6-t，AP=2t，
∴2t=6-t，
∴t=2．即當t=2時，△QAP為等腰三角形．


（2）依題意，得S=S_矩形ABCD-S_△QDC-S_△QAP-S_△PBC
整理，得S=t²-6t+36．
配方，得S=（t-3）²+27．
∴S與t之間的函數關系式為S=t²-6t+36．
當t=3時，S有最小值，最小值是27．

（3）AB=12，BC=6，
v_P=2，v_Q=1，
AP=v_Pt=2t
DQ=v_Qt=t
AQ=DA-DQ=6-t
BP=AB-AP=12-2t=2（6-t）
當△QAP∽△PBC時：
QA：PB=AP：BC
（6-t）：（12-2t）=2t：6
t=1.5
當△PAQ∽△PBC時：
PA：PB=AD：BC
2t：（12-2t）=（6-t）：6
（6-t）²=6t
t²-18t+36=0
（t-9）²=45
t=9±3
t=3+＞6，舍去
∴t=9-3
綜上：t=1.5，或t=9-3．
點評：考查等腰三角形的性質以及相似三角形的判定．