Question

在這次抗震救災募捐活動中，某班共捐款1400元．班委會決定，由小敏、小聰兩人負責選購圓珠筆、鋼筆共800支，送給結對的災區學校的同學，他們去了國商大廈，看到圓珠筆每支1.5元，鋼筆（中性筆）每支2元．
（1）若他們購買圓珠筆、鋼筆剛好用去1400元，問圓珠筆、鋼筆各買了多少支？
（2）若購買圓珠筆可9折優惠，購買鋼筆可8折優惠，這樣購買（1）中一樣多的圓珠筆和鋼筆后還可余下多少錢若用余下的錢先買了80支圓珠筆后，還能買多少支鋼筆？
（B類）
（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O．則有∠BOC=，請說明理由；
（2）如圖2，在△ABC中，內角∠ABC的平分線和外角∠ACD的平分線交于點O．請直接寫出∠BOC與∠BAC的關系，不必說明理由；
（3）如圖3，AP、BP分別平分∠CAD、∠CBD．則有∠P=，請說明理由；
（4）如圖4，AP、BP分別平分∠CAM、∠CBD．請直接寫出∠P與∠C、∠D的關系，不必說明理由．

解：我選做的是______類題．

Answer 1

解：A類題：（1）設購買圓珠筆x支，購買鋼筆y支．
則
解得
答：購買圓珠筆400支，購買鋼筆400支．

（2）1.5×0.9×400+2×0.8×400=1180，1400-1180=220
可余下220元錢．
220-（80×1.5×0.9）=112，108÷（2×0.8）=70

B類題：（1）在△ABC，∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∵BO是∠ABC的平分線
∴∠1=∠ABC
∵CO是∠ACB的平分線
∴∠2=∠ACB
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=90°-∠A
在△BOC，∠BOC+∠1+∠2=180°
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=90°+∠A

（2）∠BOC=∠BAC

（3）∵AP、BP分別平分∠CAD、∠CBD
∴∠DAP=∠CAP=∠CAD，∠CBP=∠DBP=∠CBD
∵∠AEB是△ADE和△BEP的外角
∴∠AEB=∠D+∠DAP=∠DBP+∠P
∴∠D+∠CAD=∠CBD+∠P
∴∠CAD-∠CBD=∠P-∠D
∵∠AFB是△BCF和△AFP的外角
∴∠AFB=∠CAP+∠P=∠CBP+∠C
∴∠CAD+∠P=∠CBD+∠C
∴∠CAD-∠CBD=∠C-∠P
∵∠CAD-∠CBD=∠P-∠D
∴∠C-∠P=∠P-∠D
∴∠P=

（4）∠P=180°-∠PBE-∠BEP=
90°+（∠C+∠D）．
分析：A類題：（1）設購買圓珠筆x支，購買鋼筆y支，根據題中的描述則：圓珠筆的數量+鋼筆的數量=800支；買圓珠筆的簽錢數+買鋼筆的錢數=1400元．依此列出方程求解．
（2）若購買圓珠筆可9折優惠，購買鋼筆可8折優惠，這樣購買（1）中一樣多的圓珠筆和鋼筆后還可余下多少錢？就要先計算出優惠價的錢數，讓題（1）的總錢數減去它即可．
B類題：（1）根據已知利用角平分線的性質，和圖中角與角之間的關系證明．
（2）利用角平分線的性質可知相等．
（3）利用三角形外角與內角的關系，進行證明．
（4）利用角平分線的性質可知相等．
點評：A類考查二元一次方程組的應用．關鍵是找相等關系．B類考查三角形內角和定理，角平分線的性質．利用平分線分等角結合三角形內角和為180°求解是解決B類題的關鍵．