Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是 上兩點，AB=13，AC=5．
（1）如圖（1），若點P是 的中點，求PA的長；
（2）如圖（2），若點P是 的中點，求PA的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖（1）所示，連接PB，

∵AB是⊙O的直徑且P是 的中點，

∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，

又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，

∴PA= = =

（2）解：如圖（2）所示：連接BC．OP相交于M點，作PN⊥AB于點N，

∵P點為弧BC的中點，

∴OP⊥BC，∠OMB=90°，

又因為AB為直徑

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠OMB，

∴OP∥AC，

∴∠CAB=∠POB，

又因為∠ACB=∠ONP=90°，

∴△ACB∽△0NP

∴ = ，

又∵AB=13 AC=5 OP= ，

代入得 ON= ，

∴AN=OA+ON=9

∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36

在Rt△ANP中 有PA= = =3

∴PA=3

【解析】（1）根據圓周角的定理，∠APB=90°，P是弧AB的中點，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．（2）根據垂徑定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，從而得出△ACB∽△0NP，根據對應邊成比例求得ON、AN的長，利用勾股定理求得NP的長，進而求得PA．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．