Question

（2011•石家莊二模）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，點E從點B出發，以每秒k個單位長的速度，沿折線BA-AD-DC向點C運動；點F以每秒1個單位長的速度從點C向點B運動，點E、F同時出發同時停止．設運動時間為t秒時，△EBF的面積為y，已知y與t的函數關系如圖2所示．
請根據圖中的信息，解答下列問題：
（1）點E運動到A、D兩點時，y的值分別是

7

和

4

；
（2）求BC和CD的長；
（3）求點E的運動速度k；
（4）當t為何值時，△EBF與梯形ABCD的面積之比是1：3．

Answer 1

分析：（1）根據圖2可以得到OM表示E在BA段，MN表示E在AD段，NP表示E在DC段，據此即可判斷；
（2）根據E在A點和D點時，△EBF的面積分別是7和4，利用面積公式即可得到關于CD和BC的方程組，即可求得BC和CD的長；
（3）根據兩個點的運動時間以及（2）中求得的運動距離，即可求得運動的速度；
（4）首先求得梯形ABCD的面積，當E在AB上時，過點E作EH⊥BC于點H，△EBH∽△ABG，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可得到關于時間的方程，從而求解．

解答：解：（1）點E運動到A、D兩點時，在圖2中對應的點是M，N兩點，則對應的值是：7和4；
（2）當t=2.5秒時，△EBF的面積為y=

1

2

•（BC-CF）•CD=7，
即：

1

2

（BC-

5

2

）•CD=7．
當t=4秒時，△EBF的面積為y=

1

2

•（BC-CF）•CD=4，
即：

1

2

（BC-4）•CD=4．
∴

CD=4 BC=6

…6分
（3）法一：
∵BC=6，點F的速度是每秒1個單位，
∴BC=6，
∴點E從D運動到C用時為6-4=2秒，
又∵CD=4，
∴點E的運動速度為每秒2個單位．…9分
法二：如圖，過點A作AG⊥BC于點G，
∵AB=2.5k，AD=1.5k，∴BG=6-1.5 k，
在Rt△ABG中，4²+（6-1.5k）²=（2.5k）²．
∴k₁=2，k₂=-6.5（不合題意舍去），
即點E的運動速度為每秒2個單位．
（4）∵k=2，∴AD=3，AB=5，∴S_△EBF=6，S_梯形ABCD=18．
由題意可知運動過程中有兩個時刻△EBF的面積等于6．
①當E在AB上時，過點E作EH⊥BC于點H，
△EBH∽△ABG，
∴

BE

AB

=

EH

AG

，
∴EH=

8

5

t，
∴

1

2

×

8

5

t×（6-t）=6，解得t=

6± 6

2

，∵t≤2.5．
∴t=

6- 6

2

②當E在AD上時，

1

2

×4×（6-t）=6，解得t=3．
綜上所述，當t=

6- 6

2

或t=3秒時，△EBF與梯形ABCD的面積之比為1：3．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，正確利用題目中的圖形的關系，轉化成方程問題求解是關鍵．