Question

（2012•順義區二模）如圖，△ABC中，AB=AC=2，若P為BC的中點，則AP²+BP•PC的值為

4

；若BC邊上有100個不同的點P₁，P₂，…，P₁₀₀，記m_i=AP_i²+BP_i•P_iC（i=1，2，…，100），則m₁+m₂+…+m₁₀₀的值為

400

．

Answer 1

分析：第一個空可通過構建直角三角形利用勾股定理和等腰直角三角形的性質證明∴AB²=AP²+BP•PC即可；
第二個空可作AD⊥BC于D．根據勾股定理，得AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，從而求得M_i=AD²+BD²，即可求解．

解答：解：過A作AF⊥BC于F．
在Rt△ABF中，AF²=AB²-BF²；
在Rt△APF中，AF²=AP²-FP²；
∴AB²-BF²=AP²-FP²；
即AB²=AP²+BF²-FP²=AP²+（BF+FP）（BF-FP）；
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=FC；
∴BF-FP=CF-FP=PC；
∴AB²=AP²+BP•PC=4，
故答案為：4；
作AD⊥BC于D，則BC=2BD=2CD．
根據勾股定理，得
AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，
又P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，
∴M_i=AD²+BD²=AB²=4，
∴M₁+M₂+…+M₁₀₀=4×100=400．
故答案為：400．

點評：此題主要運用了勾股定理和等腰三角形三線合一的性質，作輔助線構造直角三角形是解本題的突破點，另外代入進行整理后代換出PC也是同學們不容易考慮到的．