Question

【題目】（1）問題發現

如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝50°，連接BD，CE交于點F．填空：

①的值為　 　；②∠BFC的度數為　 　．

（2）類比探究

如圖2，在矩形ABCD和△DEF中，AD＝AB，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，連接AF交CE的延長線于點P．求的值及∠APC的度數，并說明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，將△DEF繞點D在平面內旋裝，AF，CE所在直線交于點P，若DF＝，AB＝，求出當點P與點E重合時AF的長．

Answer 1

【答案】（1）1，50°；（2），理由見解析；（3）當點P與點E重合時，AF的長為3或6，理由見解析

【解析】

（1）問題發現：由“SAS”可證△DAB≌△EAC，可得BD＝CE，∠ACE＝∠ABD，即可求解；

（2）類比探究：通過證明△ADF∽△CDE，可得，∠FAD＝DCE，即可求解；

（3）拓展延伸：過點C作CM⊥DE，由勾股定理可求CE的長，即可求AF的長．

（1）問題發現：

∵∠BAC＝∠DAE＝50°，

∴∠DAB＝∠EAC，且AB＝AC，AD＝AE

∴△DAB≌△EAC（SAS）

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD

∴

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠BFC+∠FBC+∠FCB＝∠BFC+∠ABC+∠ABF+∠FCB＝∠BFC+∠ABC+∠ACB＝180°

∴∠BFC＝∠BAC＝50°

故答案為1，50°

（2）類比探究：

，∠APC＝90°

理由如下：∵∠DEF＝60°，∠FDE＝90°

∴DF＝DE，

∵四邊形ABCD是矩形

∴CD＝AB，∠ADC＝90°

∴AD＝DC，∠ADC＝∠EDF＝90°

∴∠EDC＝∠ADF，且

∴△ADF∽△CDE

∴，∠FAD＝DCE

∴點A，點P，點D，點C四點共圓

∴∠APC＝∠ADC＝90°

（3）拓展延伸：

如圖，過點C作CM⊥DE，交ED延長線于點M，

∵DF＝，∠DEF＝60°，∠AEC＝90°

∴DE＝1，∠CEM＝30°

∵∠CEM＝30°，CM⊥ED

∴

∵CD2＝CM2+DM2，

∴7＝+（EM﹣1）2，

∴CE＝2

∵，

∴AF＝6

如圖，過點C作CM⊥DE，交DE延長線于點M，

∵DF＝，∠DEF＝60°，∠AEC＝90°

∴DE＝1，∠CEM＝30°

∵∠CEM＝30°，CM⊥ED

∴

∵CD2＝CM2+DM2，

∴7＝+（EM+1）2，

∴CE＝

∵，

∴AF＝3

綜上所述：當點P與點E重合時，AF的長為3或6．