Question

（2011•撫順一模）如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；
（3）若點M（0，-4），動點P從M點出發，沿直線運動到該拋物線對稱軸的某點E，再沿直線運動到x軸上某點F，最后沿直線運動到點C，求使點P運動的總路程最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短路程的長．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式，進而利用配方法求出頂點坐標即可；
（2）根據點的坐標得出AC ²=AO ²+CO²=1+4=5，BC ²=BO ²+CO²=16+4=20，AB ²=（AO+BO）²=25，即可得出△ABC的形狀；
（3）作C關于x=

3

2

的對稱點C′，M關于x軸對稱點M′，連接M′C′交x軸于點F、拋物線對稱軸于點E，利用勾股定理求出即可，或者做M點關于拋物線對稱軸的對稱點M′（3，-4），做C點關于x軸的對稱點C′（0，2），連接M'C'，進而得出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x²+bx-2經過A（-1，0），
∴0=

1

2

-b-2，
解得：b=-

3

2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x²-3x）-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴頂點D的坐標為：（

3

2

，-

25

8

）；

（2）當x=0，∴y=-2，
∴C點坐標為：（0，-2），
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2與x軸交于A、B，
∴0=

1

2

x²-

3

2

x-2，
解得：x₁=-1，x₂=4，
∴B點坐標為：（4，0），
∴AC ²=AO ²+CO²=1+4=5，
BC ²=BO ²+CO²=16+4=20，
AB ²=（AO+BO）²=25，
∴AC ²+BC ²=AB²，
∴△ABC的形狀是直角三角形；

（3）①作C關于x=

3

2

的對稱點C′，
M關于x軸對稱點M′，連接M′C′交x軸于點F、拋物線對稱軸于點E，
則有：MF+FE+EC為點P運動的最短路程，
求出直線M′C′：y=-2x+4，
求出點F（2，0），點E（

3

2

，1），
最短路線為：3

5

．
②做M點關于拋物線對稱軸的對稱點M′（3，-4），
做C點關于x軸的對稱點C′（0，2），
連接M'C'，則M'C'長度即為所求最小長度3

5

；
M'C'與x軸交點為所求F點，
而M'C'與拋物線對稱軸的交點為所求E點，
F點坐標（1，0），
E點坐標（1.5，-1）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用和最短路徑問題以及直角三角形的判定方法等知識，根據已知結合圖象得出最短路徑求法是解題關鍵．