Question

已知：如圖，AF為△ABC的角平分線，以BC為直徑的圓與邊AB交于點D，點E為弧BD的中點，連接CE交AB于H，AH=AC．
（1）求證：AC與⊙O相切；
（2）若AC=6，AB=10，求EC的長．

Answer 1

分析：（1）連接BE，由AH=AC，得∠AHC=∠ACH，又∠AHC=∠EHB，所以，∠EHB=∠ACH，又由點E為弧BD的中點，所以，∠ECB=∠DBE，所以，∠ECB+∠ACH=90°，即可證明；
（2）由題意得，AC=6，AB=10，所以，BC=8，易證△BEH∽△CEB，可得，

BE

EC

=

BH

CB

=

4

8

=

1

2

，在Rt△EBC中，根據勾股定理可求得結論；

解答：（1）證明：連接BE
∵BC為直徑∴∠E=90°，
∴∠EBH+∠EHB=90°，
∵AH=AC，AF為△ABC的角平分線，
∴∠AHC=∠ACH，
∵∠AHC=∠EHB，
∴∠EHB=∠ACH，
∵點E為弧BD的中點，
∴∠ECB=∠DBE，
∴∠ECB+∠ACH=90°，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵AC是⊙O的切線，
∴∠ACB=90°，
∵AC=6，AB=10，
∴BC=8，
∵AH=AC，
∴BH=4，
又∵∠ECB=∠DBE，∠E為公共角，
∴△BEH∽△CEB，
∴

BE

EC

=

BH

CB

=

4

8

=

1

2

，
∴在Rt△EBC中，可得EC2+(

1

2

EC)2=BC2，
∴EC=

16 5

5

．

點評：本題考查了勾股定理、相似三角形及切線的判定與性質的綜合應用，應熟練掌握其判定、性質定理，考查了學生綜合應用知識的能力．