Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x+b，其中a＜0，a、b是實(shí)數(shù)，設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=0的兩根為x₁，x₂，f（x）=x的兩實(shí)根為α、β．
（1）若|α-β|=1，求a、b滿足的關(guān)系式；
（2）若a、b均為負(fù)整數(shù)，且|α-β|=1，求f（x）解析式；
（3）試比較（x₁+1）（x₂+1）與7的大小．

Answer 1

（1）∵f（x）=x，
∴ax²+4x+b=x，
α=

-3+ 9-4ab

2a

，β=

-3- 9-4ab

2a

．
∵|α-β|=1，
∴

9-4ab

=|a|，
∴a²+4ab-9=0；
（2）∵a、b均為負(fù)整數(shù)，a²+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x²+4x-2．
（3）∵關(guān)于x的方程f（x）=0的兩根為x₁，x₂，
∴ax²+4x+b=0
∴x₁x₂=

b

a

，x₁+x₂=-

4

a

．
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=

b

a

-

4

a

+1．

b

a

-

4

a

+1-7=

b-4-6a

a

，
∵a＜0，
當(dāng)b＞6a+4時(shí)，（x₁+1）（x₂+1）＜7．
當(dāng)b=6a+4時(shí)，（x₁+1）（x₂+1）=7．
當(dāng)b＜6a+4時(shí)，（x₁+1）（x₂+1）＞7．