Question

如圖，已知等邊△ABC中，D是BC上一點，△DEB為等邊三角形，連接CE并延長交AB的延長線于點M，連接AD并延長與BE的延長線交于點N，再連接MN．
求證：△BMN是等邊三角形．

Answer 1

分析：首先根據等邊三角形的性質得出BC=AB，∠ABC=∠DBE=60°，DB=EB，由SAS證出△ADB≌△CBE，于是∠BAD=∠BCE；
然后根據平角定義易知∠ABN=∠CBM=120°，結合AC=BC，利用ASA可證△ABN≌△CBM，從而有BM=BN．

解答：證明：∵△ABC和△DEB為等邊三角形，
∴BC=AB，∠ABC=∠DBE=60°，DB=EB，
在△ADB與△CBE中，
∵

BC=AB ∠ABC=∠DBE=60° DB=EB

，
∴△ADB≌△CBE（SAS），
∴∠BAD=∠BCE，
又∵∠ABN=∠ABC+∠CBN=120°，∠CBM=180°-∠ABC=120°，即∠ABN=∠CBM，
在△ABN和△CBM中，
∵

∠BAN=∠BCE AB=CB ∠ABN=∠CBM

，
∴△ABN≌△CBM（ASA），
∴BN=BM．
又∵∠NBM=180°-∠ABC-∠DBE=60°，
∴△BMN是等邊三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是證明△ADB≌△CBE和△ABN≌△CBM．