Question

已知關于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求證：無論m取任何實數時，方程恒有實數根；
（2）若關于x的二次函數y=mx²-（3m-1）x+2m-2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式；
（3）在直角坐標系xoy中，畫出（2）中的函數圖象，結合圖象回答問題：當直線y=x+b與（2）中的函數圖象只有兩個交點時，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題中，二次項系數m的值不確定，分為m=0，m≠0兩種情況，分別證明方程有實數根；
（2）設拋物線與x軸兩交點的橫坐標為x₁，x₂，則兩交點之間距離為|x₁-x₂|=2，再與根與系數關系的等式結合變形，可求m的值，從而確定拋物線的解析式；
（3）分三種情況：只與拋物線y₁有兩個交點，只與拋物線y₂有兩個交點，直線過拋物線y₁、y₂的交點，觀察圖象，分別求出b的取值范圍．
解答：解：（1）分兩種情況討論．
①當m=0時，方程為x-2=0，x=2．
∴m=0時，方程有實數根．
②當m≠0時，則一元二次方程的根的判別式
△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）
=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1
=（m+1）²≥0，
∴m≠0時，方程有實數根．
故無論m取任何實數時，方程恒有實數根．
綜合①②可知，m取任何實數，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有實數根；

（2）設x₁，x₂為拋物線y=mx²-（3m-1）x+2m-2與x軸交點的橫坐標，
則x₁+x₂=，x₁x₂=．
由|x₁-x₂|=
=
=
=
=||．
由|x₁-x₂|=2，得||=2，
∴=2或=-2．
∴m=1或m=-．
∴所求拋物線的解析式為y₁=x²-2x，
y₂=-（x-2）（x-4）．
其圖象如右圖所示：

（3）在（2）的條件下y=x+b與拋物線
y₁，y₂組成的圖象只有兩個交點，結合圖象求b的取值范圍．
，
當y₁=y時，得x²-3x-b=0，有△=9+4b=0得b=-．
同理，△=9-4（8+3b）=0，得b=-．
觀察圖象可知，
當b＜-，或b＞-直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點；
由，
當y₁=y₂時，有x=2或x=1．
當x=1時，y=-1．
所以過兩拋物線交點（1，-1），（2，0）的直線為y=x-2．
綜上所述可知：當b＜-或b＞-或b=-2時，
直線y=x+b與（2）中圖象只有兩個交點．
點評：本題具有較強的綜合性，考查了一元二次方程的根的情況，二次函數與對應的一元二次方程的聯系，討論一次函數與二次函數圖象交點的情況．