Question

【題目】已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3，點D為AB的中點，點E為線段BC上的點，連接DE，把△BDE沿著DE翻折得△B1DE．

（1）當A、D、B1、C構成的四邊形為平行四邊形，求DE的長；

（2）當DB1⊥AC時，求△DE B1和△ABC重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】(1) 或3;(2).

【解析】（1）如圖1，由平行四邊形的性質得DB1∥AC，且DB1=AC=3，由折疊知BD=DB1= 3，∠BDE=∠EDB1==30°，過E作EH⊥DB于H，則DH=BH=，在Rt△DEH中，根據勾股定理得DE2=（DE）2+，解之可得DE的值；如圖2，由平行四邊形的性質得B1D∥AC，且B1D=AC=3，又CD=AB=3，∠CAB=60°，可證四邊形ACDB1為含60°角的菱形，從而∠E B1D=∠C B1D =30°，即E與C重合，DE的長即是CD的長.

（2）設B1D、B1E分別與AC交于P、Q，在Rt△ADP中，求出AP和DP的長，在Rt△B1PQ中，求出B 1P和PQ的長，然后根據△DE B1和△ABC重疊部分的面積=S△B1DE- S△B1PQ計算即可.

（1）如圖1，若四邊形為ACB1D的平行四邊形，則有DB1∥AC，且DB1=AC=3，

由題意，∠B=30°，∠BDE=∠EDB1=30°，

∴DE=BE，

在Rt△ABC中，∠A=60°，AC=3，∴AB=6，BD=3，

過E作EH⊥DB于H，則DH=BH=，

在Rt△DEH中，EH=DE，DH=，

∴DE2=（DE）2+，

∴DE=；

如圖2，若四邊形為ACDB1的平行四邊形，則有，B1D∥AC，且B1D=AC=3，

∵CD=AB=3，∠CAB=60°，

∴四邊形ACDB1為含60°角的菱形，

∵∠E B1D=∠C B1D =30°，

∴E與C重合，

∴DE=CD=3；

綜上，DE=或3,

（2）當DB1⊥AC時（如圖3），設B1D、B1E分別與AC交于P、Q，

則：Rt△ADP中，∠A=60°，AD=3，

∴AP=，DP=，

Rt△B1PQ中，∠B 1=∠B=30°，B 1P=3－，

∴PQ=－，

∴S△B1PQ=×B 1P PQ= ×（3－）（－）=－，

又S△B1DE==×DB 1 PC=×3×=，

∴△DE B1和△ABC重疊部分的面積=－+=－.