Question

如圖，直線y=x+b（b＜0）交坐標軸于A、B兩點，交雙曲線y=

8

x

于點D，過D作兩坐標軸的垂線DC、DE，連接OD．
（1）求證：DA平分∠CDE．
（2）是否存在直線AB．使得四邊形OBCD為平行四邊形？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．
（3）當△AOD的面積為3時，求直線AB的解析式．

Answer 1

分析：①欲證明DA平分∠CDE，則是∠EDA=∠ADC=45°即可；
②使得四邊形OBCD為平行四邊形只需證明OB∥DC且OB=DC即可；
③S_AOD=

1

2

DC×OA．

解答：（1）證明：∵直線y=x+b（b＜0）交坐標軸于A、B兩點
∴A（-b，0），B（0，b），
∴∠OAB=45°，
又∵過D作兩坐標軸的垂線DC、DE，
∴∠EDC=90°，DC∥BE，
∴∠CDA=∠OAB=45°，
∴∠CDA=∠EDA=45°，
即：DA平分∠CDE；

（2）解：存在直線AB．使得四邊形OBCD為平行四邊形
∵點B在y軸上，O為原點，DC⊥x軸
∴OB∥DC
要使得四邊形OBCD為平行四邊形，使OB=DC即可，即|b|=x+b（b＜0）得x=-2b
又∵直線y=x+b（b＜0）交雙曲線y=

8

x

于點D，
∴

y=-2b+b y= 8 -2b

得b=-2
∵b=-2時OB∥DC且OB=DC
∴由平行線的判定定理可得四邊形OBCD為平行四邊形
∴此時直線的解析式為：y=x-2；

（3）解：△AOD的面積S=

1

2

×DC×OA=

1

2

×（x+b）×|b|=3（b＜0），
得x=-

6

b

-b，代入直線AB和雙曲線可得

y=- 6 b y= 8 -b- 6 b

，得b=-3

2

∴此時直線AB的解析式為：y=x-3

2

．

點評：本題主要考查了反比例函數，一次函數以及平行線判定定理．解答此題時要運用數形結合的思想．