Question

如圖，已知拋物線，y=ax²+bx+c經過A（2，0）．B（3．-3）及原點O．頂點為C．
（l）求拋物線的解析式及頂點C的坐標；
（2）點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點D的坐標；
（3）P是拋物線上第三象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，清說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過拋物線過原點O，可設拋物線的解析式為y=ax²+bx，再根據待定系數法就可以求出拋物線的解析式；
（2）①當OA為邊時，根據E在x=1上，能求出D的橫坐標，根據平行四邊形性質求出D的坐標即可；
②OA為對角線時，根據平行四邊形的對角線互相平分，求出D和C重合，進一步求出E的坐標；
（3）設P（x，y），由題意知x＜0，y＜0且y=-x²+2x，可得P（x，-x²+2x），根據勾股定理的逆定理求出直角三角形BOC，根據相似三角形的性質，得出比例式，代入求出即可．
解答：解：（1）∵拋物線過原點O，
∴可設拋物線的解析式為y=ax²+bx，
將A（2，0），B（3，-3）代入，得
，
解得，
故拋物線的解析式為：y=-x²+2x，
則y=-x²+2x=-（x²-2x）=-（x-1） ²+1，
故C點坐標為：（1，1）；

（2）如圖1，①當AO為邊時，
∵以A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形．
∴DE∥AO，且DE=AO=2．
∵點E在對稱軸x=1上，
∴點D的橫坐標為-1或3．
即符合條件的點D有兩個，分別記為D₁，D₂．
而當x=-1時，y=-3當x=3時，y=-3
則D₁（-1，-3），D₂（3，-3），
②當AO為對角線時，則DE與AO互相平分．
又點E在對稱軸上，且線段AO的中點橫坐標為1，
由對稱性知，符合條件的點D只有一個，即頂點C（1，1），
綜上所述，符合條件的點D共有三個，分別為（-1，-3），（3，-3），（1，1）；

（3）存在，
如圖2，∵B（3，-3），C（1，1）根據勾股定理得：
BO²=18，CO²=2，BC²=20．
∴BO²+CO²=BC²．
∴△BOC是以∠BOC為直角的直角三角形．
假設存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與Rt△BOC相似．
設P（x，y），由題意知x＜0，y＜0且y=-x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，
則．
，
則3x²-5x-2=0，
解之得，x₂=2（舍去）．
當時，，即點P（，）
②若△PMA∽△BOC，
則．

則x²+x-6=0
解之得x₁=-3，x₂=2（舍去）．
當x=-3時，y=-15，即點P（-3，-15）．
綜上所述，符合條件的點P有兩個，分別是P₁（，），P₂（-3，-15）．
點評：本題考查了二次函數的綜合，用待定系數法求二次函數的解析式、相似三角形的性質、勾股定理的逆定理、平行四邊形的判定等知識點的應用，此題綜合性比較強，有一定的難度，對學生提出較高的要求．注意：不要漏解，分類討論思想的巧妙運用．