Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，且OD⊥BC，垂足為F，OD交⊙O于點E．
（1）證明：BE=CE；
（2）證明：∠D=∠AEC；
（3）若⊙O的半徑為5，BC=8，求△CDE的面積．

Answer 1

分析：（1）根據OD⊥BC運用垂徑定理得到弧BE=弧CE，再根據等弧對等弦證明；
（2）結合切線的性質定理和等角的余角相等，把∠D轉化為∠OCB，再根據等邊對等角和圓周角定理的推論進行證明；
（3）根據垂徑定理可以求得DE邊上的高CF，只需求得DE的長．要求DE的長，求得OD的長減去OE的長就可．根據勾股定理首先求得OF的長，再根據相似三角形的性質求得OD的長．

解答：（1）證明：∵BC是⊙O的弦，半徑OE⊥BC，
∴BE=CE．

（2）證明：連接OC，
∵CD與⊙O相切于點C，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCB+∠DCF=90°．
∵∠D+∠DCF=90°，
∴∠OCB=∠D，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠AEC，
∴∠D=∠AEC．

（3）解：在Rt△OCF中，OC=5，CF=4，
∴OF=

OC2-CF2

=

52-42

=3．
∵∠COF=∠DOC，∠OFC=∠OCD，
∴Rt△OCF∽Rt△ODC．
∴

OD

OC

=

OC

OF

，即OD=

OC2

OF

=

52

3

=

25

3

．
∴DE=OD-OE=

25

3

-5=

10

3

．
∴S_△CDE=

1

2

•DE•CF=

1

2

×

10

3

×4=

20

3

．

點評：此題綜合運用了垂徑定理、切線的性質定理、圓周角定理的推論、勾股定理以及相似三角形的性質和判定．