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精英家教網將1,2,3,4,5,6,7,8,9,10這十個數分別填入圖中的十個圓圈內.
(Ⅰ)證明:一定存在三個相鄰的數,它們的和不小于17;
(Ⅱ)如果使任意三個相鄰的數的和均不大于某一個整數M,求M的最小值并請你給出相應的填圖.
分析:(1)首先假設所有相鄰的三個數,它們的和都小于17,則它們的和小于等于16,由10個數的和的最值比較,得出矛盾,從而得出假設不成立,原命題正確.
(2)設滿足已知條件的數依次為:a1,a2,a3…a10;根據題意連續相鄰的5個圓圈內的數的和均不大于某一個整數M可得出:5(a1+a2+…+a10)≤10M,從而可得出M的最小值,進而將10個數分組填入即可.
解答:(1)證明:假設所有相鄰的三個數,它們的和都小于17,則它們的和小于等于16.
∴這10個數的和的最大值小于等于:16×10÷3=
160
3

但是實際上,1+2+3+…+10=(1+10)×10÷2=55>
160
3
,所以假設不成立,則命題得證,
∴將自然數1,2,3…10這10個數,任意地放在一個圓周上,其中一定有相鄰的三個數,它們的和大于等于17.

(2)解:設滿足已知條件的數依次為:a1,a2,a3…a10
則:a1+a2+a3M;
a2+a3+a4≤M;
a3+a4+a5≤M;
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a10+a1+a2≤M;
得:5(a1+a2+…+a10)≤10M,
即 5×10×112≤10M,
解得:M≥27.5,
而M為整數,故M的最小值為28,將1,2,3,…10分成如下的兩組:
10,7,6,3,2;
9,8,5,4,1
以此填入圖中即可.
點評:本題考查整數的綜合運用,難度比較大,解答本題(1)問的關鍵是運用反證法進行證明,解答(2)問的關鍵是根據題意得出5(a1+a2+…+a10)≤10M,這是本題的突破口.
練習冊系列答案
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初三某班對最近一次數學測驗成績(得分取整數)進行統計分析,將所有成績由低到精英家教網高分成五組,并繪制成如下圖所示的頻數分布直方圖,請結合直方圖提供的信息,回答下列問題:
(1)該班共有
 
名同學參加這次測驗;
(2)在該頻數分布直方圖中畫出頻數折線圖;
(3)這次測驗成績的中位數落在
 
分數段內;
(4)若這次測驗中,成績80分以上(不含80分)為優秀,那么該班這次數學測驗的優秀率是多少?

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科目:初中數學 來源: 題型:

解不等式(組)
(1)
x-3
4
<6-
3-4x
2
,并求出其最大(或最小)整數解.
(2)解不等式組
3(x+1)>5x+4①
x-1
2
2x-1
3
,并將解集在數軸上表示出來.
(3)若0<x<1,請用“<”把x,
1
x
,x2連接起來.

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精英家教網將一個邊長為1的正方形紙片,剪成四個大小一樣的正方形,然后將其中一個小正方形再按照同樣的方法剪成四個正方形,如此循環下去,觀察下列圖表,回答下列問題:
操作次數 1 2 3 4
所得正方形的總個數 4 7 10 13
(1)當操作次數為5次時,得到的正方形的個數是
 

(2)從表格和第(1)題的結果中你發現了什么?我發現
 

(3)請你根據你的發現歸納出:當操作次數為n次時,得到的正方形的個數是
 

(4)仔細觀察圖形,請你利用圖形揭示的規律進行下面的計算(要有揭示規律的過程):
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+
1
128
+
1
256

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科目:初中數學 來源: 題型:

22、如圖,四邊形ABCD中,點E在邊CD上,連接AE、BE,給出下列五個關系式:①AD∥BC;②DE=CE;③∠1=∠2;④∠3=∠4;⑤AD+BC=AB,將其中的三個關系式作為題設,另外兩個作為結論,便構成一個命題.
(1)用序號寫出一個真命題(書寫形式:如果×××,那么×××),并給出證明.
(2)用序號再寫出三個真命題(不要求證明)

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科目:初中數學 來源: 題型:

小明、小亮兩人用如圖所示的兩個分隔均勻的轉盤做游戲:分別轉動兩個轉盤,轉盤停止后,將兩個指針所指數字相加(若指針恰好停在分割線上,則重轉一次).如果這兩個數字之和小于8(不包括8),則小明獲勝;否則精英家教網小亮獲勝.
(1)填空:轉動轉盤B,轉盤停止后,指針指向偶數的概率為
 

(2)用列表法(或樹狀圖)分別求出兩人獲勝的概率.
(3)這個游戲對雙方公平嗎?若你認為不公平,如何修改規則才能使該游戲對雙方公平?

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